הביטוי n² + n מתחלק ב־2אינדוקציה 571 · שיעור 10

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 10: הביטוי n² + n מתחלק ב־2

פרק 3 – התחלקות

1נוסח השאלה

2הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי n² + n מתחלק ב־2 ללא שארית.

הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1² + 1 = 2 = 2 · 1 ✓

מתחלק ב־2.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

הביטוי k² + k מתחלק ב־2, כלומר יש מספר שלם m כך ש:

k² + k = 2m

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

הוכחה באינדוקציה · המשך

k² + k = 2m

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צ״ל: (k + 1)² + (k + 1) מתחלק ב־2

נפתח סוגריים:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(k + 1)² + (k + 1) = k² + 2k + 1 + k + 1

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

הוכחה באינדוקציה · המשך

(k + 1)² + (k + 1) = k² + 2k + 1 + k + 1

אני עושה את זה כדי שיופיע הביטוי מהנחת האינדוקציה: נסדר את האיברים כך שיופיע k² + k:

= (k² + k) + 2k + 2

נציב במקום (k² + k) את 2m:

📐 הנחת האינדוקציה

= 2m + 2k + 2

כדי להגיע לצורה של 2 כפול מספר שלם, נוציא 2 כגורם משותף:

= 2(m + k + 1) ✓

📐 הנחת האינדוקציה

k² + k = 2m

הוכחה באינדוקציה · המשך

(k + 1)² + (k + 1) = 2(m + k + 1) ✓

m + k + 1 הוא מספר שלם, ולכן (k + 1)² + (k + 1) מתחלק ב־2, והטענה נכונה בעבור n = k + 1.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא